Licencié en Lettres et en Droit, diplômé de l’école des sciences politiques, il est secrétaire d’ambassade en Russie à la déclaration de la guerre.
François COULET va rallier la France Libre dans les premiers, en étant présent à la création du comité du Caire en Égypte. Il rallie ainsi les FFL dès le 6 août 1940 en provenance de Russie.
De part ses antécédents militaires d’avant guerre et son statut, il sera assimilé officier et affecté en tant que lieutenant au service direct du Général de Gaulle.
Il rejoint ainsi rapidement l’Angleterre, afin de devenir l’aide de camp du Général à compter du 1er décembre 1941, et sera nommé Capitaine à compté du 5 mars 1942, au sein de la Compagnie de Quartier Général du chef de la France Libre.
A sa demande, n’écoutant que son désir de servir en unité combattante, il prend le commandement de l’Infanterie de l’Air le 3 novembre 1942. Il restera un peu moins d’un an dans cette prestigieuse unité, en pleine construction, après avoir passé le brevet parachutiste en suivant le stage très sélectif de l’époque, au travers du passage chez les Polonais à Largo puis chez les britanniques à la PTS de Ringway.
Rappelé directement par le Général à son service, il quittera cette unité à compter du 15 août 1943, afin de servir au mieux les intérêts de la France Libre du Général à Alger, où se joue l’avenir politique de ce dernier.
François COULET reprend du service actif dans un domaine où il va exceller, et participera d’ailleurs activement aux opérations de libération de la Corse depuis l’Afrique du Nord, en devenant secrétaire général auprès du nouveau préfet.
Le 14 juin 1944, il débarque à Bayeux avec le Général, et est nommé commissaire de la République en poste dans cette même ville. Il devient ainsi le premier commissaire de la nouvelle république sur un territoire tout juste libéré par les Alliés

Après guerre, il reprendra du service dans le corps diplomatique, et représentera la France à Helsinki en 1947, à Téhéran en 1950 et enfin à Belgrade en 1954.
Lors de événements d’Algérie, toujours soucieux de servir au mieux son pays, il rempile au sein de l’Armée de l’Air à l’âge de 50 ans (!!), et y créera les Commandos Parachutistes de l’Air, en s’inspirant tout naturellement de ce qu’il a connu pendant la seconde guerre mondiale au sein de l’Infanterie de l’Air. Il y croisera d’ailleurs le lieutenant-colonel BIGEARD, auquel il voue une certaine admiration. Cette expérience le marquera à jamais.
En 1960, il devient directeur des affaires politiques de la Délégation Générale du Gouvernement en Algérie.